本节内容主要整理自教材《Intermediate Microeconomics: A Modern Approach 9th》Hal R. Varian 中文译本 费方域 朱保华等 格致出版社 2021

1. 预算约束的概念

1.1 消费束

为方便起见，这里仅考虑两种商品的情况。我们用$(x_1,x_2)$来表示消费者的消费束，即消费者选择的目标，其中$x_1$，$x_2$分别表示消费者对商品1和商品2的消费量。有时也常用$X$等来表示缩写。

1.2 预算集

假设我们已知两种商品的价格$(p_1, p_2)$和消费者收入$m$，则消费者的预算约束可以写为：

$$ p_1x_1 + p_2x_2 \leq m $$

此时，我们称能负担的消费束的集合为消费者的预算集。

2. 通常只需考虑两种商品

我们常常把其中一种商品看作为除另外一种商品外消费者想要消费的其他各种商品的代表。进一步地，以商品2为例，可以认为商品2是消费者可以用来购买其他各种商品的货币，自然地，$p_2=1$。于是我们有新的预算约束：

$$ p_1 x_1 + x_2 \leq m $$

我们认为商品2代表了一种复合商品，关于预算约束的一切论述，总的来说要以复合商品假说为前提。

3. 预算集的性质

3.1 预算线

预算线指的是所需要费用正好等于$m$的一系列消费束，即：

$$ p_1 x_1 + p_2 x_2 = m $$

经过调整有： $$ x_2 = \frac{m}{p_2} - \frac{p_1}{p_2}x_1 $$

因此我们可以画图表示：

此时可以根据$p_1$，$p_2$和$m$的变动来判断预算线的变动。

3.2 替代率

预算线的斜率可以表示市场愿意用商品1来“替代”商品2的比率，具体地，

我们有： $$ p_1x_1 + p_2x_2 = m $$

和

$$ p_1(x_1 + \Delta x_1) + p_2(x_2 + \Delta x_2) = m $$

用2式减去1式有：

$$ p_1 \Delta x_1 + p_2 \Delta x_2 = 0 $$

上式表明，消费变动的总价值必定为0。进一步地，我们有：

$$ \frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} = - \frac{p_1}{p_2} $$

这正是预算线的斜率，同时也反映了商品间的替代率。有时我们也认为该斜率反映了消费商品1的机会成本。

4. 计价物

我们用2个价格和1个收入来确定预算线，但这些变量中有一个是多余的。我们可以把其中一个价格或收入的值规定是固定不变的，然后调整另外两个变量，这样可以确切地描绘同一个预算集。因此，原预算线与下列预算线是相同的：

$$ \frac{p_1}{p_2}x_1 + x_2 = \frac{m}{p_2} $$

或

$$ \frac{p_1}{m}x_1 + \frac{p_2}{m}x_2 = 1 $$

此时，可以分别把$p_2$和$m$视为1，并适当调整其他变量，而不会改变预算集。当我们把其中一个价格限定为1时，我们常常把那种价格称为计价物价格。我们就是相对于计价物价格来测量其他价格和收入。