1. 发展

在过去，人们常轻率地认为“效用”是一个人的整个福利的指标。但这种观点存在很多问题，其中一个重要的问题是无法准确衡量效用，因此也很难进行比较。

后来，经济学家放弃了这种旧式观点，取而代之的是在消费者偏好基础上经过完全重新阐述的消费者行为理论，在这个理论中，效用仅仅看作是描述偏好的一种方法。

2. 效用函数

效用函数是为每个可能的消费束指派一个数字的方法，它指派给受较多偏好的消费束的数字大于指派给受较少偏好的消费束的数字。若对$(x_1,x_2)$的偏好多于对$(y_1,y_2)$的偏好，其充分必要条件是$(x_1,x_2)$的效用大于$(y_1,y_2)$的效用。也即，$(x_1,x_2) \succ (y_1,y_2) \Longleftrightarrow u(x_1,x_2) \succ u(y_1,y_2)$。

效用函数的唯一的重要特征在于它对消费束所进行的排序。其数值大小除排序外无其他意义。由于这种效用强调消费束的排序次序，所以被称为序数效用。

3. 单调变换

基于效用函数的以上特征，对于任何一种指派方法，我们都能找到无限多种其他方法。这种操作叫做单调变换，通过保持数字次序不变的方式将一组数字变成另一组数字。具体地，若$f(\cdot)$代表单调变换，对于$u_1 > u_2$，我们有$f(u_1) > f(u_2)$，这与单调函数本质上是一回事。

一个效用函数的单调变换还是一个效用函数，这个效用函数代表的偏好与原效用函数代表的偏好相同。因为虽然效用的数值不同，但是函数形状与原函数完全相同，例如，$xy=1$与$100xy=100$是完全相同的。

心得：效用函数与无差异曲线本质上是一样的，分别通过代数和几何形式表示消费者的偏好，唯一不同的地方是由于存在单调变换，导致效用的数值可以是任意的，但效用函数的形状在变换前后始终和无差异曲线保持一致。

4. 效用函数的一般形式

4.1 完全替代

$$ u(x_1,x_2) = ax_1 + bx_2 \quad (a,b>0) $$

4.2 完全互补

$$ u(x_1,x_2) = \min { ax_1,bx_2} \quad (a,b>0) $$

4.3 拟线性偏好

$$ u(x_1,x_2) = v(x_1) + x_2 \quad (v(\cdot) \text{为某一非线性函数}) $$

4.4 柯布-道格拉斯偏好

$$ u(x_1,x_2) = x_1^c x_2^d \quad (c,d >0) $$

可以对柯布-道格拉斯效用函数进行单调变换

4.4.1 取自然对数

$$ v(x_1,x_2) = \ln(x_1^c x_2^d) = c \ln x_1 + d \ln x_2 $$

4.4.2 指数和为1

对原式取$1/ (c+d)$的幂有： $$ x_1^{\frac{c}{c+d}} x_2^{\frac{d}{c+d}} $$

令$a = \frac{c}{c+d}$，有： $$ v(x_1,x_2) = x_1^a x_2^{1-a} $$

5. 边际效用与边际替代率

边际效用的定义为（以$x_1$为例）：

$$ MU_1 = \lim_{\Delta x_1 \rightarrow 0} \frac{u(x_1 + \Delta x_1, x_2) - u_2(x_1, x_2)}{\Delta x_1} = \frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_1} $$

以上定义说明了边际效用考察的是在保持其他商品数量不变时，某一商品数的微小变化单独带来的效用变化，其本质是对效用函数作偏导。

边际效用与边际替代率（MRS）之间存在联系，后者可以通过前者表达。可以用两种方法来表示这一过程。

5.1 微分法

边际替代率是无差异曲线的斜率，我们考察在保持效用不变时的一种微小变动$(\text{d}x_1, \text{d}x_2)$，即在无差异曲线上发生微小的移动。根据无差异曲线上的消费束效用一致的特点，我们可以得到： $$ \text{d}u = \frac{\partial u(x_1, x_2)}{\partial x_1} \text{d}x_1 + \frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_2} \text{d}x_2 = 0 $$

进一步求解有： $$ \frac{\text{d}x_2}{\text{d}x_1} = - \frac{\partial u(x_1,x_2)/\partial x_1}{\partial u(x_1,x_2)/\partial x_2} $$

5.2 隐函数法

我们将无差异曲线看作由$x_2(x_1)$表示： $$ u(x_1,x_2(x_1)) \equiv k $$

两边同时对$x_1$求微分，有： $$ \frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_1} + \frac{\partial (x_1,x_2)}{\partial x_2} \frac{\text{d}x_2}{\text{d}x_1} = 0 $$

进一步求解有： $$ \frac{\text{d}x_2}{\text{d}x_1} = - \frac{\partial u(x_1,x_2)/\partial x_1}{\partial u(x_1,x_2)/ \partial x_2} $$

5.3 关于效用的表示方法

此外，我们也可以证明边际替代率与效用的表示方法无关。

假设我们对一个效用函数作单调变换，$v(x_1,x_2) = f(u(x_1,x_2))$，此时有： $$ MRS = - \frac{\partial v / \partial x_1 }{\partial v / \partial x_2} = - \frac{\partial f / \partial u}{\partial f / \partial u} \frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2} = -\frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2} $$

这表明，在单调变换后，边际替代率并未改变。利用该方法我们也可以根据边际替代率是否相同来判断两个效用函数是否一致。